[数学家故事]哥德巴赫猜想

  哥德巴赫是一个德国数学家,生于1690年,从1725年起当选为俄国彼得堡科学院院士。在彼得堡,哥德巴赫结识了大数学家欧拉,两人书信交往达30多年。他有一个著名的猜想,就是在和欧拉的通信中提出来的。这成为数学史上一则脍炙人口的佳话。

  有一次,哥德巴赫研究一个数论问题时,他写出:

  3+3=6,3+5=8,

  3+7=10,5+7=12,

  3+11=14,3+13=16,

  5+13=18,3+17=20,

  5+17=22,……

  看着这些等式,哥德巴赫忽然发现:等式左边都是两个质数的和,右边都是偶数。于是他猜想:任意两个奇质数的和是偶数,这当然是对的,但可惜这只是一个平凡的命题。

  对—般的人,事情也许就到此为止了。但哥德巴赫不同,他特别善于联想,善于换个角度看问题。他运用逆向思维,把等式逆过来写:

  6=3+3,8=3+5,

  10=3+7,12=5+7,

  14=3+11,16=3+13,

  18=5=13,20=3+17,

  22=5+17,……

  这说明什么?哥德巴赫自问,然后自答:从左向右看,就是6~22这些偶数,每一个数都能“分拆”成两个奇质数之和。在一般情况下也对吗?他又动手继续试验:

  24=5+19,26=3+23,

  28=5+23,30=7+23,

  32=3+29,34=3+31,

  36=5+31,38=7+31,

  ……

  一直试到100,都是对的,而且有的数还不止一种分拆形式,如

  24=5+19=7+17=11+13,

  26=3+23=7+19=13+13

  34=3+31=5+29=11+23=17+17

  100=3+97=11+89=17+83

  =29+71=41+59=47+53.

  这么多实例都说明偶数可以(至少可用一种方法)分拆成两个奇质数之和。在一般情况下对吗?他想说:对!于是他企图找到一个证明,几经努力,但没有成功;他又想找到一个反例,说明它不对,冥思苦索,也没有成功。

  于是,1742年6月7日,哥德巴赫提笔给欧拉写了一封信,叙述了他的猜想:

  (1)每一个偶数是两个质数之和;

  (2)每一个奇数或者是一个质数,或者是三个质数之和。

  (注意,由于哥德巴赫把“1”也当成质数,所以他认为2=1+1,4=1+3也符合要求,欧拉在复信中纠正了他的说法。)

  同年6月30日,欧拉复信说,“任何大于(或等于)6的偶数都是两个奇质数之和,虽然我还不能证明它,但我确信无疑,它是完全正确的定理。”

  欧拉是数论大家,这个连他也证明不了的命题,可见其难度之大,自然引起了各国数学家的注意。

  人们称这个猜想为哥德巴赫猜想,并比喻说,如果说数学是科学的皇后,那么哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠。二百多年来,为了摘取这颗耀眼的明珠,成千上万的数学家付出了巨大的艰苦劳动。

  1920年,挪威数学家布朗创造了一种新的“筛法”,证明了每一个充分大的偶数都可以表示成两个数的和,而这两个数又分别可以表示为不超过9个质因数的乘积。我们不妨把这 个命题简称为“9+9”。

  这是一个转折点。沿着布朗开创的路子,932年数学家证明了“6+6”。1957年,我国数学家王元证明了“2+3”,这是按布朗方式得到的最好成果。

  布朗方式的缺点是两个数都不能确定为质数,于是数学家们又想出了一条新路,即证明“1+C”。1962年,我国数学家潘承洞和另一位苏联数学家,各自独立地证明了“1+5”,使问题推进了一大步。

  1966年至1973年,陈景润经过多年废寝忘食,呕心沥血的研究,终于证明了“1+2”:对于每一个充分大的偶数,一定可以表示成一个质数及一个不超过两个质数的乘积的和。即

  偶数=质数+质数×质数

  你看,陈景润的这个结果,离哥德巴赫猜想的最后解决只有一步之遥了!人们称赞“陈氏定理”是“辉煌的定理”,是运用“筛法”的“光辉顶点”。

  想想练练

  1.50以内有15个质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47.请选出10个填入图内,使○+○的和等于同一个50以内的偶数,把这个偶数填入中间的○内。

  2.用给出的:3、3、5、5、7、7、11、11、13、13、17、17、19、23、23、23这16个数,根据哥德巴赫猜想,写出8个连续的偶数。